روزي روزگاري، در گذشته‌هاي نه چندان دور، در شهري دو رفتگر زندگي مي‌كردند كه هر روز صبح براي رفتن به محل كارشان از چهارچرخه‌هاي قديمي همانند هم كه روي دو ريل حركت مي‌كرد، استفاده مي‌كردند. روزي برف شديدي شروع به باريدن كرد و طبق معمول دو رفتگر سوار بر چهارچرخه‌هايشان شدند تا به محل كارشان بروند. يكي از آن‌ها كه فعال و پركار بود،برف‌هايي كه روي چهار چرخه‌اش مي‌نشست را بلافاصله در جهت عمود بر امتداد حركتش پارو مي كرد. ولي رفتگر دوم كه تنبل و خواب‌آلود بود، به محض سوار شدن بر چهارچرخه به خواب رفت. حال فكر كنيد با فرض اين كه سرعت اوليه ي هر دو سيستم(چهارچرخه+رفتگر و وسايلش) باشد، كدام يك از آن ها در محدوده‌ي زماني مشخص، مسافت بيش‌تري را طي مي‌كند؟(دو رفتگر هم وزن بوده و وسايل شان كاملا" يكسانند.)
قبل از هر چيز اجازه دهيد يك سري پيش‌فرض‌ها را در نظر بگيريم. اولا":چهارچرخه ها حركتي مستقيم الخط دارند،ثانيا":از اصطكاك صرفنظر مي شود و ثالثا":برف به ميزان ثابت كيلوگرم در ثانيه، بر هر كدام از چهارچرخه‌ها مي‌بارد.
شايد در نظر اول اين طور تصور شود كه در محدوده‌ي زماني مشخص،رفتگر پركار مسافت بيش‌تري را طي خواهد كرد، ولي در كمال تعجّب خواهيم ديد كه رفتگر تنبل مسافت بيش‌تري را طي مي‌كند، ولي چرا؟
ابتدا وضعيت رفتگر تنبل را در نظر مي‌گيريم.در اين حالت،جرم برف به جرم سيستم اضافه مي‌شود. از آن‌جايي كه هيچ‌گونه برهم‌كنشي با نيروي خارجي در جهت افقي وجود ندارد،پس اندازه‌ي حركت(تكانه)سيستم در جهت افقي پايسته مي‌ماند.
اگر 
جرم اوليه ي سيستم باشد،آن‌گاه جرم سيستم در زمان t برابر خواهد بود با:
.
تكانه‌ي اوليه برابر با 
است،به دليل پايستگي تكانه خواهيم داشت:
.
پس سرعت اين سيستم در هر لحظه با معادله ي زير بيان مي شود:
حالا وضعيت رفتگر پركار را در نظر بگيريد. هنگامي كه دانه‌هاي برف روي چهارچرخه‌ي او مي‌نشينند،سرعت چهارچرخه را كسب مي‌كنند و در نتيجه مقداري تكانه به دست مي‌آورند. از آن‌جا كه رفتگر پركار به محض نشستن برف، آن را از روي چهارچرخه اش در جهت عمود بر امتداد حركتش به اطراف پارو مي‌كند،پس عملاً در هر لحظه،مقداري از تكانه‌ي اين سيستم از دست مي رود و اين يعني: 
.از آن جا كه به برف،امكان جمع شدن بر روي چهارچرخه داده نمي‌شود، جرم سيستم،مقدار ثابتي است و تغيير اندازه‌ي حركت سيستم، صرفاً به سرعت چهارچرخه بستگي خواهد داشت:
.
با تركيب دو معادله‌ي بالا، معادله‌ي زير براي سرعت اين سيستم در هر لحظه نتيجه مي شود:
.
لم: اگر x عدد حقيقي نامنفي دلخواهي باشد آن‌گاه:
.
اين لم به كمك قضيه ي مقدار ميانگين اثبات مي شود و در كتب استاندارد حساب ديفرانسيل و انتگرال آمده است.
اگر 
قرار دهيم،آن گاه با توجه به لم فوق خواهيم داشت:
.
بنابراين با توجه به روابط (*) و (**) و رابطه ي اخير،در محدوده‌ي زماني مشخص،رفتگر تنبل بيش تر از رفتگر پركار،مسافت طي مي كند.(شكل زير)
منبع: مجله ی الکترونیکی انجمن ریاضی دانان جوان
نظرات شما عزیزان:
